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高频面试题:接雨水 💦

给定n个非负整数表示每个宽度为1的柱子的高度图,计算按此排列的柱子,下雨后能接多少雨水


20191029164006

题目描述

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就是用一个数组表示一个条形图,问你这个条形图最多能接多少水。

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int trap(int[] height);

下面就来由浅入深介绍暴力解法 -> 备忘录解法 -> 双指针解法 -> 奇技淫巧解法,在 O(N) 时间 O(1) 空间内解决这个问题。

核心思路

我第一次看到这个问题,无计可施,完全没有思路,相信很多朋友跟我一样。所以对于这种问题,我们不要想整体,而应该去想局部;就像之前的文章处理字符串问题,不要考虑如何处理整个字符串,而是去思考应该如何处理每一个字符。

这么一想,可以发现这道题的思路其实很简单。具体来说,仅仅对于位置 i,能装下多少水呢?

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能装 2 格水。为什么恰好是两格水呢?因为 height[i] 的高度为 0,而这里最多能盛 2 格水,2-0=2。

为什么位置 i 最多能盛 2 格水呢?因为,位置 i 能达到的水柱高度和其左边的最高柱子、右边的最高柱子有关,我们分别称这两个柱子高度为l_maxr_max位置 i 最大的水柱高度就是min(l_max, r_max)。

更进一步,对于位置 i,能够装的水为:

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water[i] = min(
# 左边最高的柱子
max(height[0..i]),
# 右边最高的柱子
max(height[i..end])
) - height[i]

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这就是本问题的核心思路,我们可以简单写一个暴力算法:

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有之前的思路,这个解法应该是很直接粗暴的,时间复杂度 O(N^2),空间复杂度 O(1)。但是很明显这种计算r_maxl_max的方式非常笨拙,一般的优化方法就是备忘录。

备忘录优化

之前的暴力解法,不是在每个位置 i 都要计算r_maxl_max吗?我们直接把结果都缓存下来,别傻不拉几的每次都遍历,这时间复杂度不就降下来了嘛。

我们开两个数组r_maxl_max充当备忘录,l_max[i]表示位置 i 左边最高的柱子高度,r_max[i]表示位置 i 右边最高的柱子高度。预先把这两个数组计算好,避免重复计算:

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这个优化其实和暴力解法差不多,就是避免了重复计算,把时间复杂度降低为 O(N),已经是最优了,但是空间复杂度是 O(N)。下面来看一个精妙一些的解法,能够把空间复杂度降低到 O(1)。

双指针解法

这种解法的思路是完全相同的,但在实现手法上非常巧妙,我们这次也不要用备忘录提前计算了,而是用双指针边走边算,节省下空间复杂度。

首先,看一部分代码:

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int trap(vector<int>& height) {
int n = height.size();
int left = 0, right = n - 1;
int l_max = height[0];
int r_max = height[n - 1];
while (left <= right) {
l_max = max(l_max, height[left]);
r_max = max(r_max, height[right]);
left++; right--;
}
}

对于这部分代码,请问l_maxr_max分别表示什么意义呢?

很容易理解,l_max是height[0..left]中最高柱子的高度,r_max是height[right..end]的最高柱子的高度

明白了这一点,直接看解法:

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你看,其中的核心思想和之前一模一样,换汤不换药。但是细心的读者可能会发现次解法还是有点细节差异:

之前的备忘录解法,l_max[i]r_max[i]代表的是height[0..i]height[i..end]的最高柱子高度。

ans += min(l_max[i], r_max[i]) - height[i];

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但是双指针解法中,l_maxr_max代表的是height[0..left]height[right..end]的最高柱子高度。比如这段代码:

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if (l_max < r_max) {
ans += l_max - height[left];
left++;
}

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此时的l_maxleft指针左边的最高柱子,但是r_max并不一定是left指针右边最高的柱子,这真的可以得到正确答案吗?

其实这个问题要这么思考,我们只在乎min(l_max, r_max)。对于上图的情况,我们已经知道l_max < r_max了,至于这个r_max是不是右边最大的,不重要,重要的是height[i]能够装的水只和l_max有关。

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对于 l_max > r_max 的情况也是类似的。

另外一种接水题目

题目描述: 柱子不考虑宽度,存粹考虑能装的最多水,求容器装水量,即“水桶效应”题。

定义 ij 两个指针分别指向数组的左右两端,然后两个指针向中间搜索,并且更新面积最大值 res,直到 i == j 时返回 res

其中 容器装水量的算法是找出左右两个边缘中较小的那个乘以两边缘的距离

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class Solution {
public int maxArea(int[] height) {
int i = 0, j = height.length - 1, res = 0;
while(i < j){
res = height[i] < height[j] ? Math.max(res, (j - i) * height[i++]): Math.max(res, (j - i) * height[j--]);
}
return res;
}
}
  • 时间复杂度 O(N),双指针遍历一次底边宽度 N 。
  • 空间复杂度 O(1),指针使用常数额外空间。